※ここからは、計算についての解説です。もっとも、前回のエントリーで書いたように、清水義範著「嫌でも楽しめる算数」の『赤道鈴之助と六合枡』を参考（と言うか、そのまま）にしました。

期待値という言葉があります。サイコロを例にとると、どの目も出てくる確率は1/6ですから、１度振ったときに出てくる目の期待値は次の式で表すことができます。
１×(1/6)＋２×(1/6)＋３×(1/6)＋４×(1/6)＋５×(1/6)＋６×(1/6)
＝21/6
＝7/2
＝3.5
つまり、一度振ったら、３．５が出てくる目の期待値です。

期待値の説明に関してはここを参考にしました。

今回のドーレくんガチャポンコンプリートの期待値は、何個買ったらコンプリートできるかの個数です。

また、サイコロを例にとります。どの目も出てくる確率は1/6です。「１」を出そうと思ったら、６回振れば、１回は「１」が出ることが期待できます。
つまり、
確率(1/6)の逆数(6/1)ということです。

つまり、確率が低くなればなるほど(種類が多ければ多いほど)、買わなくてはならない数が多くなるということです。

もう一つ厄介なのは、種類が揃えば揃うほど、次の種類を手に入れるために買わなくてはならない個数が増えることです。

ドーレくんガチャポンではどうなるかというと、１８種類あります。当然、１８個買ったらコンプリートできたという幸運な人もいるかもしれません。でも、普通は同じものがいくつか重なるものです。その個数も含めて、何個買えばよいかを計算します。

最初に１個買った場合、１８種類のどれかが揃います。当然、どれが出ても、ほかと重なることはありません。

確率(18/18)の逆数(18/18)、つまり、１です。1個買えば、重なることなく、1種類入手できる期待値ということです。

さて、もう１個買うときに運が悪いと、最初の１個と同じものが出てくる場合があります。でも、普通は１８種類のうちの１７種類のどれかが出てきますから、まず、重なることはありません。

確率(17/18)の逆数(18/17)が２個目が重ならない期待値です。

同じように２個揃った場合は、３個目を買うときの期待値は
確率(16/18)の逆数の(18/16)となります。

このように一つずつ個数が増えていく場合を足し算していくと、次のような式になります。

１＋(18/17)＋(18/16)＋(18/15)＋(18/14)＋(18/13)＋(18/12)＋(18/11)＋(18/10)＋(18/9)＋(18/8)＋(18/7)＋(18/6)＋(18/5)＋(18/4)＋(18/3)＋(18/2)＋(18/1)

こうして見ていくと、後半になるにつれて、飛躍的に買わなくてはならない個数が増えていくことが読み取れます。

つまり、１７種類揃った段階では、残り1種類を手に入れる確率は(1/18)ですから、その逆数(18/1)つまり、１８個が期待値になります。

書いているうちに、決戦の日曜日になりました。個人的にはセレッソと戦うより、ガチャポンと戦うような気分です（爆）